第七章 两种正交变换---沃尔什变换和离散余弦_01

　　1922年，德国数学家拉德马赫（H.Rademacher）提出一种只取两个数值的正交函数，称为拉

　　1923年，美国数学家沃尔什（J.L.Walsh）提出沃尔什函数（Walsh function），这是一种完备的

　　的每个函数的列率，从而可知这些函数是按列率排列的。例如， 是正弦沃尔什函数 ，在 区间内，过零点数目为4，故列率为2。 是余弦沃尔什函数 ，在 区间内，过零点数目为7，故列率为 。一般来说，对于函数 ，如果 表示列率，则 由

　　设 是 -周期的有限实数列向量，其元素为 ， 是 维列向量，其元素为 ，则阿达马编号的沃尔什-阿达马变换 定义为

　　式（7.1.22）与式（7.1.23）构成变换对。与熟知的DFT矩阵不同，如果不考虑常数因子 ，则 和 的变换矩阵是完全相同的，都是 。

　　由式（7.1.6）可知，沃尔什矩阵是关于主对角线）的沃尔什函数是按列率编号的。沃尔什

　　常用的频率(frequency)一词适用于正/余弦函数组。在任何主变量区间，函数过零点按等间隔分布。频率是一个参数，用以区别函数组中的各个函数。它被解释为正/余弦函数在单位时间内所经历的完整周期数（或过零点数目的一半）。

　　式（7.1.1）中，沃尔什函数定义于半开区间 。对于确定的编号 ， 是变量 的函数。应该指出，变量 未必代表时间，它可以是任何一个量，并且最大值可以归一化为1。

　　在定义区间 之外，将原沃尔什函数波形周期性地重复，就使定义延拓到整个 轴上。这样， 就是一个以1为周期的函数，即

　　关于沃尔什函数的性质，请读者参考有关资料。这里需要指出沃尔什函数的一个重要性质：按不同方法编号的沃尔什函数集 ，在 区间内都是完备的正交函数集。正交关系表示如下：

　　读者从图7.1.1可以验证这个式子的正确性。沃尔什变换和付里叶变换一样，都是正交变换，而所有正交变换都满足帕塞瓦尔定理，即变换前后的信号能量是相同的。因此，可以利用沃尔什函数集中的各个函数的线性组合来表示时域信号。下面讨论这个问题。

　　在快速沃尔什变换中，变换核只取1和-1这两个值，故变换过程中只需要进行实数的加、减运

　　算，没有乘、除运算，从而使变换速度快，精度高，并且可以使用比较简单的专用硬件。

　　下面将介绍沃尔什函数的定义方法，说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换，举出实例说明沃尔什变换的应用。

　　由图7.1.4可见， 点的 和 可以用 次迭代实现；除乘数 外，仅需要做加法与减法。所需的加、减法次数为 。

　　上述算法虽然简单，但有一个问题需要注意。进行DFT运算后，频域序列的元素对应的频率随着序号的递增而增加。但完成 后，得到列率域序列 ，其元素对应的列率与序号的关系并不是一望而知，需要逐点求出。这一步是不可免的，由于进行列率滤波（例如，希望滤去某些高列率（高频）分量）前，必须知道这些分量的序号。这样就带来不少麻烦【解说070101】。为了避免这种困扰，可采用下节介绍的沃尔什编号的沃尔什-阿达马变换。

　　由于历史上的原因，有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法，其中的表达式如下：

　　为了与其它编号的沃尔什函数相区别，上式以下标’w’标识的函数 ，称为沃尔什编号的沃尔什函数。式中， ─沃尔什函数编号，为正整数。 的二进制表示式为

　　以上两式有快速算法，条件是点数必须满足 ，其中， 是正整数。阿达马编号的快速沃尔什-阿达马变换 的流图示于图7.1.4。这个流图几乎与基-2 FFT的流图一模一样。明显的区别是基-2 FFT流图的复指数旋转因子被代之以整数1或-1。

　　式（7.1.22）和式（7.1.23）表明正、反变换只差一个常数因子，故图7.1.4的流图仍适用于反变换，只不过其右边的所有常数支路 被置换为1。

　　7.1.3的阿达马编号的连续沃尔什函数 可以从图7.1.1的沃尔什编号的函数 得到。这里，不论述编号 与 的对应关系。实际上，可以从阿达马矩阵来理解图7.1.3的连续波形。

　　阿达马矩阵 是一个 方阵，且 ， 为正整数。这种矩阵可由下面的递推关系生成：

　　如同付里叶级数一样，沃尔什级数的应用包括波形分析与综合两个方面。利用沃尔什级数可以分析波形的列率谱，或者，对所得的每一个列率分量计算其付里叶系数，取全部计算之和，就可以得到待分解波形的各列谱分量。由于沃尔什函数只取两个值，故便于用大规模集成电路来实现体积小、重量轻的廉价频谱分析仪、各种波形发生器以及各种电子乐器等。在通信设备中，也广泛地应用到沃尔什函数，例如，用沃尔什函数构成码分复用系统。

　　沃尔什级数与付里叶级数相似，都可以根据线性叠加原理进行复杂波形综合。如果函数处处连续，则所取项数越多，近似程度就越好。如果函数变化比较缓慢，则最好展开成付里叶级数。反之，若函数变化快，则以展开成沃尔什级数为好，因为在这种场合，级数收敛快，用较少的项数也能较好地逼近该函数。

　　现在以正弦函数 为例说明函数可以展开为沃尔什级数。由式（7.1.10）得

　　上述两种编号的变换矩阵都是正交矩阵：任何两个不同的行（或列）的对应元素的乘积之和等于零。这两个变换矩阵看似复杂，但最为诱人的是两种变换都有如同基-2 FFT那种快速算法，而且由于变换矩阵元素只取两个整数值（1与-1），避免了复数运算，因而精度高，程序运行速度快，而且节省内存，不需存储FFT算法所用的旋转因子。

　　以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切的联系。其中，沃尔什函数应用较多。

　　这种正交函数在搁置了近半个世纪后，到了20世纪70年代才得到广泛的应用，并有进一步的发展。

　　类似于人们熟知的付里叶变换，作为完备的正交函数系，沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数，或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下显著特点：

　　定义广义频率为每单位时间内过零点平均数的一半，这样，频率概念就被推广了。列率一词指的就是广义频率，用来描述诸如沃尔什函数之类的非正弦函数。这些函数在一个区间内的过零点按非等间隔方式分布，同时又不一定是周期函数。当用于正/余弦函数时，列率等同于频率。

　　在以上定义中，主变量 在半开区间 内（1在区间之外）取值Biblioteka Baidu根据列率定义，可确定图7.1.1

　　根据这个式子，画出图7.1.2所示的波形。可以看出，用序数 的 函数进行综合，所得波形已相当接近原正弦信号。如要得到更精确的近似，可再增加高序数的沃尔什函数分量。当项数趋于 时，应满足帕塞瓦尔定理，此时有

　　设 是周期为 的函数，满足狄利克雷（Dirichlet）条件。于是，类似于付里叶级数展开式，可以将 展开成沃尔什级数

　　用式（7.1.10）或式（7.1.12）展开沃尔什级数时， 的周期应等于1。如果周期不等于1而是 ，则应取 代替 ，将时间归一化，即得相应的沃尔什级数展开式及其中的所有系数。

　　这两个变换矩阵看似复杂但最为诱人的是两种变换都有如同基2fft那种快速算法而且由于变换矩阵元素只取两个整数值1与1避免了复数运算因而精度高程序运行速度快而且节省内存不需存储fft算法所用的旋转因子

　　信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域。在实践中，除了付里叶变换大家族外，还有许多完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域，人们不断地进行探索。将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示，这是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换，即沃尔什变换和离散余弦变换，说明它们的特点和快速算法。

　　任何正交变换都有一个正交矩阵与之相应。在离散付里叶变换中，矩阵的每一个行向量由频率为直流、基波以及各次谐波的复指数函数的采样点组成。在离散沃尔什变换中，也要用到 变换矩阵。这个正交矩阵的每个行向量由互相正交的沃尔什函数的采样点组成。现在以 为例，说明怎样得到沃尔什变换的正交矩阵。为此，要先按照式（7.1.1）画出前8个沃尔什函数波形。下面举例说明怎样画出 时的沃尔什函数 。

　　基于复指数函数系（正弦-余弦函数系）的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，其原因之一是这类信号易于获得，易于变换，便于检测，也容易理解。在电信技术发展史上，正弦-余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用。但非正弦信号的研究与应用也一直受到重视。

　　20世纪60年代末至70年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行。大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下，人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来。事实上，正弦-余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核，在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算，其量化误差是累积的。因此，寻找其它更好的完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中，应该记住

　　沃尔什编号的沃尔什-阿达马变换 类似于上述 ，只需将式（7.1.22）和式（7.1.23）中的变换矩阵换成类似于式（7.1.6）那样的沃尔什矩阵 ，即可得到变换对：由此得到 为

　　同理，可以写出其它沃尔什函数表示式。这样就得到 时的8个沃尔什函数表示式如下：

　　从以上表示式，根据符号函数 的定义，可以画出8个沃尔什函数的波形，如图7.1.1所示。其中，可以将 看成是直流。从波形来看， 为奇数、偶数的沃尔什函数分别类似于正弦、余弦波形。所以，函数 可以分为两类： 为奇数时， 被看成是沃尔什正弦函数，记为 ； 为偶数时， 被看成是沃尔什余弦函数，记为 。这里， 称为列率（sequency）。下面将会看出列率是广义频率。对这些函数进行 点等间隔采样，即得式（7.1.6）所示的离散沃尔什函数（即沃尔什矩阵） 。其中，下标’w’表示函数按沃尔什编号排列，3表示以2为底的 的对数。变换矩阵的行、列数均为 。为了得到快速算法，应选 ，其中， 是正整数。

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