第七章两种正交变换---沃尔什变换和离散余弦_01

　　第七章 两种正交变换 --- 沃尔什变换与离散余弦变换 信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们...

　　第七章 两种正交变换 --- 沃尔什变换与离散余弦变换 信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域。在实践中，除了付里叶变换大家族外，还有许多完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域，人们不断地进行探索。将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示，这是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换，即沃尔什变换和离散余弦变换，说明它们的特点和快速算法。 7.1 沃尔什变换 7.1.1 概述 基于复指数函数系（正弦-余弦函数系）的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，其原因之一是这类信号易于获得，易于变换，便于检测，也容易理解。在电信技术发展史上，正弦-余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用。但非正弦信号的研究与应用也一直受到重视。 20 世纪 60 年代末至 70 年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行。大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下，人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来。事实上，正弦-余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核，在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算，其量化误差是累积的。因此，寻找其它更好的完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中，应该记住  1910 年，匈牙利数学家哈尔（A.Haar）提出哈尔函数，这是一组完备的正交函数。  1922 年，德国数学家拉德马赫（H.Rademacher）提出一种只取两个数值的正交函数，称为拉 德马赫函数。它不是完备的正交函数系，但可以用来间接地表示沃尔什函数。  1923 年，美国数学家沃尔什（J.L.Walsh）提出沃尔什函数（Walsh function），这是一种完备的 正交函数系。 以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切的联系。其中，沃尔什函数应用较多。 这种正交函数在搁置了近半个世纪后，到了 20 世纪 70 年代才得到广泛的应用，并有进一步的发展。 类似于人们熟知的付里叶变换，作为完备的正交函数系，沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数，或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下显著特点：  它有类似于 FFT 的快速算法。  在快速沃尔什变换中，变换核只取+1 和-1 这两个值，故变换过程中只需要进行实数的加、减运 算，没有乘、除运算，从而使变换速度快，精度高，并且可以使用比较简单的专用硬件。 下面将介绍沃尔什函数的定义方法，说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换，举出实例说明沃尔什变换的应用。 7.1.2 定义 由于历史上的原因，有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法，其中的表达式如下： = =10w1) (0 )] 2 , sgn[cos( ) , ( Walprrt t k t k （7.1.1）